Point de départ

Quelle variété choisir et quelle quantité d’engrais apporter ?

Contexte

Un agronome souhaite améliorer le rendement d’une culture de maïs tout en limitant l’utilisation d’engrais minéral. Il souhaite étudier simultanément :

• 2 variétés de maïs
• 2 niveaux de fertilisation
  • faible dose
  • forte dose

Question scientifique

• Le rendement dépend-il de la dose d’engrais ?

• La réponse à l’engrais est-elle la même pour les deux variétés ?

Point de départ

Quelle variété choisir et quelle quantité d’engrais apporter ?

On dispose de 40 parcelles expérimentales.

Deux expériences sont possibles.

Expérience A : comparer séparément les deux facteurs

• Une expérience pour étudier l’effet de la variété
• Une expérience pour étudier l’effet de la fertilisation

Expérience B : faire varier les deux facteurs simultanément

Quelle expérience mener ? Les deux expériences utilisent-elles la même information ?

Vocabulaire

• Une expérience est une étude qui génère des données en vue de répondre à une question
• La planification expérimentale est l’activité qui consiste à organiser l’expérience

\(\rightarrow\) La réussite de l’expérience dépend de de sa planification

• Population : ensemble d’animaux, de plantes, de parcelles ou autres unités expérimentales dans lesquelles on va collecter les données
• Un échantillon est un sous-ensemble d’unités expérimentales de la population d’intérêt
• Un échantillon aléatoire est un sous-ensemble d’unités expérimentales tirées au hasard

Etapes de la planification

Une fois la question scientifique définie :

• Déterminer la taille des échantillons
• Définir le plan d’expérience
• Organiser la logistique

Les tests statistiques

Quelle variété choisir et quelle quantité d’engrais apporter ?

On souhaite déterminer si les conditions expérimentales ont un effet sur le rendement du maïs.

On note \(\mu_{i}\) le rendement moyen obtenu avec la variété \(i\) ;

On s’intéresser à la question : La variété a-t-elle un effet sur le rendement ?

Les tests statistiques

Hypothèses

• Nulle – \(H_0\) : les deux variétés ont le même rendement moyen \(H_0 : \mu_{1} = \mu_{2}\)

• Alternative – \(H_1\) : les deux variétés ont des rendements moyens différents \(H_1 : \mu_{1} \neq \mu_{2}\)

Erreurs

• Erreur de type I : rejeter \(H_0\) alors qu’elle est vraie
• Erreur de type II : ne pas rejeter \(H_0\) alors qu’elle est fausse

Un test statistique conduit à prendre une décision à partir de données soumises à l’incertitude.

Niveau de test

Le niveau de test \(\alpha \in (0, 1)\) contrôle l’erreur de type I :

\[ \mathbb{P}_{\text{sous } H_0}(\text{rejeter à tord } H_0 ) \leq \alpha \]

• La probabilité de rejeter \(H_0\) à tord est au plus de \(\alpha\).

• Valeur de \(\alpha\) définie par l’utilisateur relativement au contexte scientifique, e.g. 0.05, mais aussi 0.1, 0.2 …

• Niveau de test \(=\) seuil \(\alpha\) \(=\) risque de 1ère espèce

Puissance d’un test

La puissance d’un test est donnée par la formule suivante : \[ \mathbb{P}_{\text{sous } H_1}(\text{rejeter } H_0 ) = 1 - \mathbb{P}_{\text{sous } H_1}(\textbf{ne pas } \text{ rejeter } H_0 )\] C’est une probabilité qui décrit la capacité de pouvoir rejeter à juste titre \(H_0\).

• \(\mathbb{P}_{\text{sous } H_1}(\textbf{ne pas } \text{ rejeter } H_0 )\) est l’erreur de 2ème espèce

• Rejeter à juste titre \(H_0\) \(=\) accpeter \(H_1\) \(=\) faire une découverte

• Souvent difficile à calculer car loi sous \(H_1\) inconnue.

La puissance dépend surtout de l’effet réel, de l’effectif \(n\), et du niveau du test.

Effet de la taille de l’échantillon

Souvent limité par coût humains, matériels, temporels…

Plans d’expériences

Une fois le nombre de prélèvements à faire déterminé, comment répartir ce nombre lorsqu’on veut étudier l’effet d’un ou plusieurs facteurs comportant plusieurs niveaux.

Objectifs :

• Estimer aussi précisément que possible les effets des facteurs d’intérêt
• Limiter les risques de confusion entre les effets des différents facteurs

Situation 1 — Une seule condition expérimentale

Exemple

On souhaite évaluer le rendement d’une variété de maïs.

On dispose de \(N\) parcelles expérimentales.

Un seul facteur d’intérêt : \(\text{Fertilisation}\)

avec deux niveaux :

\(\text{faible dose}\qquad\text{vs.}\qquad\text{forte dose}\)

Question

La dose de fertilisation a-t-elle un effet sur le rendement ?

\(H_0 : \mu_{\text{faible}} = \mu_{\text{forte}}\)

\(H_1 : \mu_{\text{faible}} \neq \mu_{\text{forte}}\)

Situation 1 — Une seule condition expérimentale

Comment répartir les observations ?

Supposons que l’on dispose de 20 parcelles.

Une possibilité naturelle :

Quelles parcelles doivent recevoir quelle dose ?

On peut utiliser la randomisation pour affecter les traitements aux unités expérimentales.

La randomisation permet d’éviter que l’affectation des traitements soit liée à des caractéristiques des parcelles.

Situation 2 — Plusieurs traitements

Plusieurs modalités d’un même facteur

On souhaite maintenant comparer 3 doses d’engrais :

\(D_1,\quad D_2,\quad D_3\)

Question : Les rendements moyens sont-ils les mêmes pour les trois doses ?

Que cherche-t-on à estimer ?

Pour chaque niveau du facteur, on souhaite estimer le rendement moyen :

\(\mu_1,\quad \mu_2,\quad \mu_3\)

et comparer ces moyennes

Situation 2 — Plusieurs traitements

Plusieurs modalités d’un même facteur

\(H_0 : \mu_1=\mu_2=\mu_3\)

\(H_1 : \text{au moins deux moyennes diffèrent}\)

La précision de ces estimations dépend notamment :

• du nombre d’observations par traitement ;
• de la variabilité entre les unités expérimentales ;
• de la manière dont les unités sont réparties entre les traitements.

La réplication permet de quantifier la variabilité au sein de chaque condition expérimentale.

Hétérogénéité et notions de blocs

Toutes les unités expérimentales sont-elles comparables ?

Imaginons que les parcelles présentent une forte hétérogénéité :

\(\boxed{\text{Sol profond}}\qquad\qquad\boxed{\text{Sol superficiel}}\)

Le type de sol peut influencer le rendement indépendamment du traitement étudié.

Question

Comment éviter que cette variabilité masque l’effet de la fertilisation ?

\(\boxed{\text{Regrouper les unités expérimentales homogènes en blocs}}\)

Hétérogénéité et notions de blocs

Principe du blocage

Au sein de chaque bloc, on compare les différents traitements.

Chaque bloc contient les différentes modalités du facteur étudié.

L’objectif est de comparer les traitements entre des unités expérimentales aussi homogènes que possible.

\({\text{Réduire la variabilité résiduelle}} \quad\Longrightarrow\quad {\text{améliorer la précision}}\)

Hétérogénéité et notions de blocs

Randomisation avec blocs

Le blocage ne remplace pas la randomisation.

On procède en deux étapes :

1. Former des blocs d’unités expérimentales relativement homogènes ;
2. Randomiser les traitements à l’intérieur de chaque bloc.

Randomisation : pourquoi est-elle importante ?

On dispose de 8 parcelles :

On veut comparer l’effet de l’engrais sur le rendement \(Y\) avec 4 parcelles dans type de sol.

Que se passe-t-il sans randomisation ?

Si les 4 parcelles riches reçoivent l’engrais et les 4 parcelles pauvres n’en reçoivent pas :

\(\overline{Y}_{Engrais} = 8.1\)

\(\overline{Y}_{Sans} = 4.9\)

Différence observée : 3.2 tonnes/ha

Mais cette différence est-elle due à l’engrais ?

Randomisation : pourquoi est-elle importante ?

Dans l’expérience précédente :

\(\underbrace{\overline{Y}_{Engrais}-\overline{Y}_{Sans}}_{3.2}\)

mélange potentiellement l’effet de l’engrais et de la qualité des sols

Le traitement est associé à une caractéristique des parcelles. Les parcelles recevant l’engrais sont systématiquement les parcelles les plus fertiles.

C’est précisément ce que la randomisation cherche à éviter.

Randomisation : pourquoi est-elle importante ?

On répartit aléatoirement les 8 parcelles entre les deux traitements.

Par exemple :

Chaque traitement est admistré à

• 2 parcelles riches
• 2 parcelles pauvres

Les rendements avant traitement sont alors :

\(\overline{Y}_{Engrais}=\frac{8.2+8.5+4.8+4.5}{4}=6.50\)

\(\overline{Y}_{Sans}=\frac{7.8+8.0+5.2+5.0}{4}=6.50\)

Pas de différence avant traitement

Randomisation : pourquoi est-elle importante ?

La randomisation permet de rendre, en moyenne, les groupes comparables avant l’application des traitements.

Ainsi, une différence observée après traitement peut être attribuée plus directement au traitement plutôt qu’à une différence initiale entre les groupes.

Mais avec seulement 8 parcelles, une randomisation particulière peut tout de même produire un déséquilibre.

D’où l’intérêt des blocs lorsque l’hétérogénéité est connue.

Plans factoriels

Plusieurs facteurs d’intérêt

Revenons à notre question initiale.

On souhaite étudier simultanément :

• Variété : \(V_1\), \(V_2\)
• Dose d’engrais : \(D_1\), \(D_2\)

Les deux facteurs peuvent être combinés :

On obtient \(2\times2=4\) combinaisons de traitements.

Plans factoriels

Pourquoi combiner les facteurs ?

Un plan factoriel permet d’étudier simultanément l’effet de la variété et l’effet de la dose.

Question supplémentaire

L’effet de la fertilisation est-il le même pour les deux variétés ?

Cette question ne peut pas être étudiée correctement si les deux facteurs sont systématiquement étudiés séparément.

Plans factoriels

Exemple de résultats

Imaginons les rendements moyens suivants :

Pour la variété 1 :\(7-5=2\)

Pour la variété 2 : \(8-4=4\)

L’effet de la dose semble dépendre de la variété.

Plans factoriels

Quelques notions de vocabulaire

On étudie \(k\) facteurs, comportant chacun plusieurs niveaux.

Plan factoriel complet

Toutes les combinaisons des niveaux des facteurs sont présentes.

Pour 2 facteurs à 2 niveaux :

\(2\times2=4 \text{ combinaisons}\)

Plan factoriel incomplet

Certaines combinaisons ne sont pas observées.

METTRE EXEMPLE NUMERIQUE PLUTOT

Plans factoriels

Quelques notions de vocabulaire

Réplication

Une combinaison de traitements est observée plusieurs fois.

Par exemple, 3 répétitions du plan \(2\times2\) :

\(N = 2\times2\times3 = 12\)

Plan équilibré

Chaque combinaison de traitements est observée le même nombre de fois.

Ici : \(n_{11}=n_{12}=n_{21}=n_{22}=3\)

Plans factoriels

Quelques notions de vocabulaire

Orthogonalité

Les niveaux d’un facteur sont répartis de manière équilibrée pour chaque niveau des autres facteurs.

Exemple :

Ainsi :

• chaque variété est observée 6 fois ;
• chaque dose est observée 6 fois ;
• chaque combinaison est observée 3 fois.

Autre exemple :

On dispose de 20 parcelles, avec deux variétés et deux doses d’engrais.

Les totaux marginaux ne sont pas égaux mais les proportions sont les mêmes :

\(\frac{2}{4}=\frac{2}{4}=0.5\)

et

\(\frac{8}{16}=\frac{8}{16}=0.5.\)

Ainsi, dans chaque variété, 50% des parcelles reçoivent la dose 1 et 50% la dose 2.

Plans factoriels

Équilibre et orthogonalité

Deux propriétés différentes :

Exemple précédent

\[\begin{array}{c|cc|c} & D_1 & D_2 & \text{Total}\\ \hline V_1 & 2 & 2 & 4\\ V_2 & 8 & 8 & 16\\ \hline \text{Total} & 10 & 10 & 20 \end{array}\]

Ce plan est orthogonal mais non équilibré.

Plans factoriels

Décrire un plan expérimental

En résumé, pour caractériser un plan factoriel on peut préciser :

Contraintes expérimentales

Le plan idéal est-il toujours réalisable ?

En pratique, certaines contraintes peuvent empêcher une affectation complètement aléatoire.

Exemples :

• certaines modalités sont difficiles ou coûteuses à appliquer ;
• un traitement nécessite une machine particulière ;
• les traitements doivent être appliqués à plusieurs parcelles simultanément ;
• les unités expérimentales sont regroupées par lots ;
• certaines mesures sont réalisées à des dates différentes.

Le plan d’expériences doit tenir compte des contraintes de l’expérience réelle.

Contraintes expérimentales

Exemple : application de l’engrais

Supposons que l’engrais soit appliqué avec une machine.

Il est difficile d’appliquer une dose différente à chaque petite parcelle.

On peut alors être contraint d’ appliquer la dose à un groupe de parcelles puis répartir les variétés à l’intérieur de ces groupes.

Cela modifie la manière dont les traitements peuvent être randomisés.

Split plot : organiser la contrainte

Une dose pour une grande parcelle

La machine épand l’engrais sur une grande parcelle entière. On peut semer une variété différente dans chacune de ses sous-parcelles.

Le split plot, ou plan en parcelles divisées, organise ces deux niveaux.

Le niveau de randomisation dépend du facteur.

Deux tirages au sort

On prépare 3 blocs de terrain relativement homogènes. Chaque bloc contient 2 grandes parcelles, chacune divisée en deux.

1. Dans chaque bloc : tirer au sort les doses.
   Une grande parcelle reçoit la faible dose, l’autre la forte dose.

2. Dans chaque grande parcelle : tirer au sort les variétés.
   Une sous-parcelle reçoit V1, l’autre V2.

Les tirages sont renouvelés indépendamment d’un bloc à l’autre et d’une grande parcelle à l’autre.

Le bloc rapproche les conditions de terrain ; la randomisation attribue les traitements.

Une réalisation possible du tirage

Chaque ligne ci-dessous représente une grande parcelle. Les deux dernières colonnes sont ses deux sous-parcelles.

\[3\text{ blocs}\times2\text{ grandes parcelles}\times2\text{ sous-parcelles}=12\text{ mesures}.\]

Douze mesures, mais quelles répétitions ?

Les deux sous-parcelles d’une même grande parcelle partagent le sol local et l’application de l’engrais.

Deux mesures dans une même grande parcelle ne créent pas deux applications indépendantes.

Split plot et plan factoriel complet

Effectifs des sous-parcelles dans notre exemple :

• Complet : les quatre combinaisons sont présentes.
• Équilibré : chaque combinaison a trois répétitions.
• Orthogonal pour les contrastes dose et variété : répartition équilibrée des niveaux.

Ces propriétés n’effacent pas les deux niveaux de randomisation.

Un modèle qui garde les deux niveaux

Pour le bloc \(i\), la dose \(j\) et la variété \(k\) :

\[Y_{ijk}=\mu+B_i+D_j+V_k+(DV)_{jk}+G_{ij}+\varepsilon_{ijk}.\]

Pourquoi les précisions diffèrent-elles ?

Comparer les variétés dans une grande parcelle

\[Y_{ij2}-Y_{ij1}=(V_2-V_1)+\bigl[(DV)_{j2}-(DV)_{j1}\bigr] +\varepsilon_{ij2}-\varepsilon_{ij1}.\]

L’écart commun \(G_{ij}\) s’annule.

Comparer les doses dans un bloc

On compare les moyennes de deux grandes parcelles différentes. Leur différence contient encore \(G_{i,\mathrm{forte}}-G_{i,\mathrm{faible}}\).

Deux erreurs pour tester les effets

Pour ce plan équilibré, avec 3 blocs, 2 doses, 2 variétés :

d$bloc <- factor(d$bloc)
d$dose <- factor(d$dose)
d$variete <- factor(d$variete)
ajustement <- aov(Y ~ bloc + dose * variete +
                   Error(bloc/dose), data = d)
summary(ajustement)

Même plan, trois incertitudes

Exemple théorique en rendement t/ha : \(\sigma_G^2=0.36\) et \(\sigma^2=0.04\). On note \(r=3\) blocs, \(a=2\) doses, \(b=2\) variétés.

L’interaction compare (V2 − V1) sous forte dose à (V2 − V1) sous faible dose.

La précision dépend de la comparaison et du niveau où l’on répète.

Où investir les répétitions ?

L’effet de la dose est prioritaire. On peut financer 24 mesures.

Quelle organisation choisir, si les deux sont réalisables ?